Równania Friedmanna

Zał. Wszechświat jednorodny (w dużych skalach) i izotropowy - dobrze potwierdzone obserwacyjnie.
Równania pochodzą z ogólnej teorii względności:

$$(1)     \dfrac{\dot{R}^2+kc^2}{R^2} = \dfrac{8\pi G}{3}\rho + \dfrac{\Lambda}{3}$$

$$(2)     \dfrac{2\ddot{R}}{R} +\dfrac{\dot{R}^2+kc^2}{R^2} = - \dfrac{8\pi G}{c^2} p + \Lambda$$

$\rho$ - gęstość (suma gęstości 3 składników: $m$, $\gamma$ i $\Lambda$)
p - ciśnienie (suma ciśnień 3 składników: $m$, $\gamma$ i $\Lambda$)
k - wybór metryki (rodzaj krzywizny przestrzeni)

Możliwe krzywizny:

(a)

k = 1 płaska (geometria Euklidesowa)

(b)

k = +1 dodatnia (suma kątów w trójkącie > $180^0$)

(c)

k = -1 ujemna (suma kątów w trójkącie < $180^0$)

Dodatkowo mogą być różne topologie np. dla $k=0$ otwarta i zamknięta.

Rysunek: Różne rodzaje krzywizny, odpowiednio k = +1, k = 0 i k = -1

Klasycznie (bez stałej kosmologicznej i dla k = 0) można je wyprowadzić z:
1. Tw. Birkhoffa z OTW (prędkość V zależy od tego co się dzieje wewnątrz sfery o promieniu R o centrum w obserwatorze) w zastosowaniu do zasady zachowania energii
2. I zasada termodynamiki